题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
答案
(2) 满足条件的a的取值范围是(-,1)
解析
试题分析:
当x∈[1,e]时,f(x)=x-x-lnx,f′(x)=2x-1-=>0,
所以f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x)=f(e)=e-e-1. 4分
(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+). 由f(x)>0,得|x-a|>. *
(i)当x∈(0,1)时,|x-a|≥0, <0,不等式*恒成立,
所以a∈R; 5分
(ii)当x=1时,|1-a|≥0,=0,所以a1; 6分
(iii)当x>1时,不等式*恒成立等价于a<x-恒成立或a>x+恒成立.
令h(x)=x-,则h′(x)=.
因为x>1,所以h′(x)>0,从而h(x)>1.
因为a<x-恒成立等价于a<(h(x)),所以a≤1.
令g(x)=x+,则g′(x)=.再令e(x)=x+1-lnx,则e′(x)=2x->0在x∈(1,+)上恒成立,e(x)在x∈(1,+)上无最大值. 11分
综上所述,满足条件的a的取值范围是(-,1). 12分
点评:主要是考查了导数在研究函数中的运用,运用导数判定函数单调性以及函数的最值,属于基础题。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R.(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;(Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围. 】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
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