题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝e^x－e^－x(x∈R且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x²－t²)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

答案

（1）奇函数．增函数（2）存在实数t＝－

解析

(1)∵f(x)＝e^x－^x，且y＝e^x是增函数，y＝－^x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e^－x－e^x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x²－t²)≥0对一切x∈R恒成立
⇔f(x²－t²)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立
⇔x²－t²≥t－x对一切x∈R恒成立
⇔t²＋t≤x²＋x对一切x∈R恒成立
⇔²≤对一切x∈R恒成立
⇔²≤0⇔t＝－.
即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x²－t²)≥0对一切x都成立．