设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)＝ax－(1＋a²)x²，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．
(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I的长度的最小值．

答案

（1）

（2）

解析

(1)令f(x)＝x[a－(1＋a²)x]＝0，
解得x₁＝0，x₂＝

，∴I＝

，∴I的长度为x₂－x₁＝

.
(2)k∈(0，1)，则0<1－k≤a≤1＋k<2.
由(1)知I的长度为

，设g(a)＝

，令g′(a)＝

>0，则0<a<1.
故g(a)关于a在[1－k，1)上单调递增，在(1，1＋k]上单调递减．
g(1－k)＝

＝

，g(1＋k)＝

，
故g(a)_min＝

，即I的长度的最小值为

核心考点

试题【设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

设函数f(x)＝

a为常数且a∈(0，1)．
(1)当a＝

时，求f

；
(2)若x₀满足f[f(x₀)]＝x₀，但f(x₀)≠x₀，则称x₀为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x₁，x₂；
(3)对于(2)中的x₁，x₂，设A(x₁，f[f(x₁)])，B(x₂，f[f(x₂)])，C(a²，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[