题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)判断函数的奇偶性;
(2)试用函数单调性定义说明函数在区间和上的增减性;
(3)若满足:,试证明:.
答案
解析
试题分析:(1)判定函数奇偶性,首先判定函数定义域是否关于原点对称,然后再判断与的相等或相反关系.本题定义域为一切实数,关于原点对称.函数为分段函数,需分类讨论. 当时,,.当时,,.故为偶函数.(2)利用定义研究函数单调性,需注重作差后的变形,关键是提取公因式,进行因式分解,以便判断符号.(3)由于是同区间的两个任意数,所以只需证,从而本题实质为求函数最值.由函数奇偶性及单调性知:
,所以成立.
试题解析:解:(1)∵当时,,∴
∴ 2分
∵当时,,∴
∴ 4分
∴对都有,故为偶函数 5分
(2)当时,
设且,则 7分
∴当时,即
当时,即 9分
∴函数在区间上是减函数,在区间上是增函数 11分
(3)由(2)可知,当时:
若,则即
若,则即
∴当时,有 12分
又由(1)可知为偶函数,∴当时,有 13分
∴若,时,则, 14分
∴,即 15分
核心考点
举一反三
(1)求函数的解析式;
(2)设.若在时恒成立,求的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
A.f(1)<f(2)<f(3) | B.f(2)<f(3)<f(1) |
C.f(3)<f(2)<f(1) | D.f(3)<f(1)<f(2) |
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