题目

题型：解答题难度：一般来源：上海高考真题

已知二次函数y=f₁（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f₂（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）。
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a>3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解。

答案

解：（1）由已知，设f₁（x）=ax²，
由f₁（1）=1，得a=1，
∴f₁（x）= x²
设f₂（x）=（k>0），
它的图象与直线y=x的交点分别为A（，）B（-，-）
由=8，得k=8
∴f₂（x）=
故f（x）=x²+。
（2）f（x）=f（a），得x²+=a²+， 即=-x²+a²+
在同一坐标系内作出f₂（x）=和f₃（x）=-x²+a²+ 的大致图象，
其中f₂（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
f₃（x）与的图象是以（0，a²+）为顶点，开口向下的抛物线
因此，f₂（x）与f₃（x）的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解
又∵f₂（2）=4，f₃（2）= -4+a²+
当a>3时，f₃（2）-f₂（2）=a²+-8>0，
∴当a>3时，在第一象限f₃（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f₂（x）图象的上方
∴f₂（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解
因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解。