已知 f(x)=ax2+c的图象经过点(2,1),且在x=1处的切线方程是2x-4y-1=0 (1)求y=f(x)的解析式; (2)点P是直线y=-1上的动点,自点P作函数f(x)的图象的两条切线PA、PB(点A、B为切点),求证直线AB经过一个定点,并求出定点的坐标. |
(1)因为f′(x)=2ax,…(1分) 而切线2x-4y-1=0的斜率为,所以2a=,a= 又图象经过点(2,1),所以4a+c=1,那么c=0, 所以函数f(x)=x2…(5分) (2)设点P(x0,-1),切点坐标为(t,t2),f′(x)=x, 那么切线的斜率为t,…(6分) 所以切线方程为y-t2=(x-t),整理得到:y=x-t2,…(8分) 此切线经过点P(x0,-1),则t2-2x0t-4=0,…(9分) 再分别设两切点坐标为A(t1,),B(t2,), 那么t1t2=-4,t1+t2=2x0,…(10分) 又直线AB的斜率KAB==(t1+t2),…(11分) 所以直线AB的方程为y-=(t1+t2)(x-t1) 整理得到:y=x0x-t1t2,而t1t2=-4, 所以直线AB的方程为y=x0x+1,…(13分) 所以直线AB经过定点(0,1)…(14分) |
核心考点
试题【已知 f(x)=ax2+c的图象经过点(2,1),且在x=1处的切线方程是2x-4y-1=0(1)求y=f(x)的解析式;(2)点P是直线y=-1上的动点,自点】;主要考察你对
求函数解析式等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ln(x+1)+x-f′(1)+,则函数f(x)=______. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,且过原点,曲线y=f(x)在P(-1,2)处的切线l的斜率是-3 (1)求f(x)的解析式; (2)若y=f(x)在区间[2m-1,m+1]上是增函数,数m的取值范围; (3)若对任意x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,求m的最小值. |
已知向量=(4x+1 , 2x) , =(y-1 , y-k) ,⊥ (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)若函数f(x)的最小值为-3,求实数k的值; (3)若对任意实数x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,求实数k的取值范围. |
近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米,则眼镜度数y与镜片焦距x(x>0)之间的函数关系式是______. |
已知f(x-1)=(x-1)2则f(x)的解析式为______. |