题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时，y=f(x)的图象是顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(-∞，-2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．

答案

解：（1）当x＞2时，设f(x)=a(x-3)²+4，
∵f(x)的图象过点A(2，2)，
∴f(2)=a(2-3)²+4=2，
∴a=-2，
∴f(x)=-2(x-3)²+4，
设x∈(-∞，-2)，则-x＞2，
∴f(-x)=-2(-x-3)²+4，
又因为f(x)在R上为偶函数，
∴f(-x)=f(x)，
∴f(x)=-2(-x-3)²+4，
即f(x)=-2(x+3)²+4，x∈(-∞，-2)．
（2）图象如下图所示，
；
（3）由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}，
单调增区间为(-∞，-3]和[0，3]，单调减区间为[-3，0]和[3，+∞)．