题目
题型:解答题难度:困难来源:江苏期末题
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)求证:函数不存在“和谐区间”.
(2)已知:函数(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n﹣m的最大值.
(3)易知,函数y=x是以任一区间[m,n]为它的“和谐区间”.试再举一例有“和谐区间”的函数,并写出它的一个“和谐区间”.(不需证明,但不能用本题已讨论过的y=x及形如的函数为例)
答案
∵x≠0,
∴[m,n](﹣∞,0)或[m,n](0,+∞)
故函数在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
故m、n是方程的同号的相异实数根.
∵x2﹣3x+5=0无实数根,
∴函数不存在“和谐区间”.
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0,
∴[m,n](﹣∞,0)或[m,n](0,+∞)
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,
则
故m、n是方程,
即a2x﹣(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根.
∵,
∴m,n同号,只须△=a2(a+3)(a﹣1)>0,即a>1或a<﹣3时,已知函数有“和谐区间”[m,n],
∵,
∴当a=3时,n﹣m取最大值
(3)如:y=﹣x+2和谐区间为、[0,2,],[﹣1,3,],当a+b=2的区间[a,b];
和谐区间为[0,,1],和谐区间为[﹣1,0,]
核心考点
试题【对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]D,同时满足: ①f(x)在[m,n]内是单调函数; ②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;
②若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);
③若f:A→B为单函数,则对于任意b∈B,它至多有一个原象;
④函数f(x)在某区间上具有单调性,则f(x)一定是单函数.
其中的真命题是( ).(写出所有真命题的编号)
(1)求f(1),f(),f(9)的值,
(2)如果f(x)+f(2﹣x)<2,求x的取值范围.
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