题目

题型：解答题难度：一般来源：高考真题

设集合P_n={1，2，…，n}，n∈N*，记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A?P_n；②若x∈A，则2x?A；③若x∈A，则2x? A。
（1）求f（4）；
（2）求f（n）的解析式（用n表示）。

答案

解（1）当n=4时，P₄={1，2，3，，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}
故f（4）=4。
（2）任取偶数x∈P_n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m?2^k，其中m为奇数，k∈N*
由条件可知，若m∈A，则x∈A，?k为偶数            
若m?A，则x∈A?k为奇数
于是x是否属于A由m是否属于A确定，
设Q_n是P_n中所有的奇数的集合
因此f（n）等于Q_n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P_n中奇数的个数是 （或 ）
∴  。