题目

题型：解答题难度：一般来源：北京市月考题

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂³且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f（k·3^x）+f（3^x﹣9^x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

答案

解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函数．
（2）解：f（3）=log₂³＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，
又由（1）f（x）是奇函数．
f（k·3^x）＜﹣f（3^x﹣9^x﹣2）=f（﹣3^x+9^x+2），
k·3^x＜﹣3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分离系数得：，
问题等价于，
对任意t＞0恒成立．
∵，
∴．