当前位置:高中试题 > 数学试题 > 分段函数 > 已知f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对于定义域内任意的x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.(1...
题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对于定义域内任意的x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证f(x)是偶函数;
(2)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)若f(a+1)>f(a)+1,求实数a的取值范围.
答案
(1)由题意知,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x2=1,代入上式解得f(1)=f(1)+f(1)∴f(1)=0
令x1=x2=-1,代入上式解得f(1)=f(-1)+f(-1)=0∴f(-1)=0,
令x1=-1,x2=x代入上式,∴f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(2)设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=f(x1
x2
x1
)-f(x1)
=f(x1)+f(
x2
x1
)-f(x1)=f(
x2
x1
)

∵x2>x1>0,∴
x2
x1
>1
,∴f(
x2
x1
)
>0,
即f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)∵f(2)=1
∴f(a+1)>f(a)+1=f(a)+f(2)=f(2a)
∵f(x)是偶函数;
∴f(|x|)=f(-x)=f(x)则f(a+1)>f(2a)即f(|a+1|)>f(|2a|)
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∴|a+1|>|2a|
两边平方得a2+2a+1>4a2
即3a2-2a-1<0解得-
1
3
<a<1
核心考点
试题【已知f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对于定义域内任意的x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.(1】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=





-x2+bx+c,x≤0
-2,x>0
,若f(-1)=1,f(0)=-2,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=





x2,-2≤x≤0
2cosx,0<x≤π.
若方程f(x)=a有解,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=





x2+2(0≤x≤1)
2x
 (-1≤x<0)
f-1(
9
4
)
=(  )
A.
1
2
B.-
1
2
C.2D.-2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
为了研究某种药物,用小白鼠进行试验,发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药,则在注射后的3小时内,药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关系式:y1=4-at(0<a<
4
3
,a为常数)
,若使用口服方式给药,则药物在白鼠血液内的浓度y2与时间t满足关系式:y2=







t
(0<t<1)
3-
2
t
(1≤t≤3)
.现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物,且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.
(1)若a=1,求3小时内,该小白鼠何时血液中药物的浓度最高,并求出最大值
(2)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4,求正数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有:f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若关于x的不等式f(x2-ax+5a)<2的解集是{x|-3<x<2},求f(2010)的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.