题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（Ⅰ）已知奇函数f（x）（x∈R），当x＞0时，f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的表达式．
（Ⅱ）设定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）＜f（m），求实数m的取值范围．

答案

因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0．
当x＜0时，-x＞0，故有f（-x）=-x[5-（-x）]+1=-x（5+x）+1．
所以f（x）=-f（-x）=x（5+x）-1．
所以f(x)=

x(5-x)+1(x＞0) 0(x=0) x(5+x)-1(x＜0).

（2）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），
所以不等式f（1-m）＜f（m）⇔f（|1-m|）＜f（|m|）．
又f（x）在区间[0，2]上单调递减，
所以

|1-m＞|m -2≤1-m≤2 -2≤m≤2.

解得-1≤m＜

1

2

．