定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：对任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），（1）求f（1）的值；（2）请举出一个符合条件的函数f（x） - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：对任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）的值；
（2）请举出一个符合条件的函数f（x）；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x²-5）-f（x）＜2．

答案

（1）令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0．
（2）y=log_ax（a＞1）
（3）f（2）=1
∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）
∴原不等式等价于f（x²-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以

x2-5＜4x

x2-5＞0

x＞0

⇒

-1＜x＜5

x＜-

或x＞

x＞0

⇒

＜x＜5
所以原不等式解集是(

，5)

核心考点

试题【定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：对任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），（1）求f（1）的值；（2）请举出一个符合条件的函数f（x）】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

设定义域为R₊的函数f（x），对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时有f（x）＞0．
①求f（1）的值；
②判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
③若f（

）=-1，求满足不等式f（1-x-2x²）≤1的x的取值范围．

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设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

如果函数f（x）满足：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，则

f(2)

f(1)

f(4)

f(2)

f(6)

f(3)

f(8)

f(4)

+…+

f(20)

f(10)

=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

设f（x）=

x2|x|≥1

x|x＜1

，若f（g（x））值域为[0，+∞），则g（x）的值域可能为（　　）

A．（-∞，-1）∪[1，+∞）

B．（-∞，-1]∪（0，+∞）

C．[0，+∞）

D．[1，+∞）

题型：单选题难度：简单| 查看答案

设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）证明f（x）是奇函数；
（3）试问在x∈[-3，3]时f（x）是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；
（4）解不等式

f(x2)-f(x)＞

f(3x)．

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