题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0满足f(

x

y

)=f(x)-f(y).
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式f(x+5)-f(

1

x

)≤2.

答案

（1）令x=y=1，则有f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）∵对一切x，y＞0满足f(

x

y

)=f(x)-f(y)即f(

x

y

)+f(y)=f(x)，
∴对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
又∵f（6）=1∴2=f（6）+f（6）=f（36）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f(x+5)-f(

1

x

)≤2⇔

x+5＞0 x＞0 f[(x+5)•x]≤f(36)

⇔

x＞0 (x+5)•x≤36

⇔

x＞0 (x+9)•(x-4)≤0

⇔0＜x≤4
故不等式f(x+5)-f(

1

x

)≤2的解集为：（0，4]．