题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设,函数.
试讨论函数的单调性.

答案

①当k=0时，F(x)在区间上单调递增，F(x)在区间上单调递减；
②当k<0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间
上单调递增；③当时，F(x)在区间上单调递减,在区间
上单调递增,在区间上单调递减.

解析

分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。
因为,所以.
(1)当x<1时，1-x>0，
①当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递增；
②当时，令，解得，
且当时，；当时，
故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；
(2)当x>1时， x-1>0，
①当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递减；
②当时，令，解得，
且当时，；当时，
故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；
综上得，①当k=0时，F(x)在区间上单调递增，F(x)在区间上单调递减；
②当k<0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间
上单调递增；③当时，F(x)在区间上单调递减,在区间
上单调递增,在区间上单调递减.