题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.

答案

函数y=()的单调递减区间为［，3)

解析

欲由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。
而函数y=()是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决
设0<x₁<x₂,则－x₂<－x₁<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，
∴f(－x₂)<f(－x₁),∵f(x)为偶函数，∴f(－x₂)=f(x₂),f(－x₁)=f(x₁),
∴f(x₂)<f(x₁).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.

由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)得：2a²+a+1>3a²－2a+1.解之，得0<a<3.
又a²－3a+1=(a－)²－.
∴函数y=()的单调减区间是
结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为［，3).
偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。