题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：
P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N^*)
(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；
(2)若第x月的销售量g(x)＝
(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e⁶≈403)

答案

（1）f(x)＝－3x²＋42x(x≤12，x∈N^*)（2）预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元

解析

(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.
当x≥2时，
f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)
＝3x(14－x)．
∴f(x)＝－3x²＋42x(x≤12，x∈N^*)．(5分)
(2)设月利润为h(x)，
h(x)＝q(x)·g(x)＝
h′(x)＝ (9分)
∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，
当6＜x＜7时，h′(x)＜0，
∴当1≤x＜7且x∈N^*时，h(x)_max＝30e⁶≈12 090，(11分)
∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，
∴当7≤x≤12且x∈N^*时，h(x)_max＝h(8)≈2 987.
综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．(14分)