题目

题型：解答题难度：困难来源：0125 期中题

已知函数，（a＞0，a≠1，a为常数）。
（1）当a=2时，求f(x)的定义域；
（2）当a＞1时，判断函数在区间(0，+∞)上的单调性；
（3）当a＞1时，若f(x)在[1，+∞)上恒取正值，求a应满足的条件。

答案

解：（1），即，
∴x＞0，即f(x)的定义域为(0，+∞)。
（2）当a＞1时，函数的定义域为(0，+∞)，任取0＜x₁＜x₂，
则，
由于a＞1，有，
∴，即，
∴在其定义域上是增函数。
（3）依题意，，即对恒成立，
由于a>1时，在[1，+∞)上递增，
∴，即，
∴。