题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围;
(2)求函数y=f(|sinx|)的值域.
答案
即存在x∈R,使得ax2-2x-2>0,
当a>0时,满足要求;当a=0时,满足要求;
当a<0时,△>0,解得-
1 |
2 |
综上得,a>-
1 |
2 |
(2)f(x)=ex•g(x)=ex•(ax2-2x-2)
∴f′(x)=(ex)′•(ax2-2x-2)+ex•(ax2-2x-2)′
=ex•(ax2-2x-2)+ex•(2ax-2)
=ex•[ax2+(2a-2)x-4]
设|sinx|=t,(0≤t≤1),则转化为求函数y=f(t),(0≤t≤1)的值域.
当a=0时,f′(x)=-2ex•(x+2)<0,此时函数f(t)在[0,1]上为减函数,
∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2]
当a<0时,f′(x)=ex•[ax2+(2a-2)x-4]=a•ex•(x-
2 |
a |
此时函数f(t)在[0,1]上为减函数,
∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2](6分)
当a>0时,f′(x)=ex•[ax2+(2a-2)x-4]=a•ex•(x-
2 |
a |
令f′(x)=0,解得x=
2 |
a |
当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
若
2 |
a |
∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a-4)e,-2]
若0<
2 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
∴ymin=f(
2 |
a |
2 |
a |
∵f(0)=-2,f(1)=(a-4)e,∴f(1)-f(0)=(a-4)e+2
∴当a>4-
2 |
e |
当a=4-
2 |
e |
当2<a<4-
2 |
e |
综上,当a≤2时,函数f(|sinx|)的值域为[(a-4)e,-2];
当2<a≤4-
2 |
e |
2 |
a |
当a>4-
2 |
e |
2 |
a |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex•g(x),其中g(x)=ax2-2x-2.(1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围;(2)求函数y=f(|sinx|】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求x<0时,f(x)的解析式;
(2)问是否存在这样的非负数a,b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[4a-2,6b-6]?若存在,求出所有的a,b值;若不存在,请说明理由.
2cosx+1 |
A.[2kπ-
| B.[2kπ-
| ||||||||
C.[2kπ+
| D.[2kπ-
|
a |
x |
(Ⅰ)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;
(Ⅱ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,试求a的取值范围;
(Ⅲ)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3 |
2 |
f(3x) |
x-1 |
A.0<x<3 | B.0≤x≤1 | C.0≤x<1 | D.0≤x≤3 |
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