题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=（x²-3x+3）-e^x定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）求证：n＞m；
（3）求证：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足e=

c

a

=

2

2

，并确定这样的e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

的个数．

答案

（Ⅰ）因为f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x
=x（x-1）•e^x．…（2分）
由f′（x）＞0，解得x＞1，或x＜0；
由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，…（6分）
又f（-2）=

13

e2

＜e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即n＞m．…（9分）
（Ⅲ）证：因为

f′(x0)

ex0

=x02-x0，

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，即为x 02-x0=

2

3

(t-1)2，
令g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，
从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解，
下面讨论解的个数：…（11分）
因g（-2）=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t+2)(t-4)，
g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以 ①当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，…（13分）
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-

2

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解．…（14分）
③当t=1时，g（x）=x²-x=0，∴x=0，或x=1，所以g（x）=0在（-2，t）上有仅有一解；
当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，∴x=-2，或x=3，
所以g（x=0）在（-2，4）上也有且只有一解．…（15分）
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1) 2，
且当t≥4，或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意；
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．…（16分）