题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知集合P={x|

1

2

≤x≤3}，集合Q是函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定义域．
（1）若P∩Q=[

1

2

，

2

3

)，P∪Q=(-2，3]，求实数a的值；
（2）若P∩Q=∅，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵P∩Q=[

1

2

，

2

3

)，P∪Q=(-2，3]，P=[

1

2

，3]，
∴Q=(-2，

2

3

)．
即不等式ax²-2x+2＞0的解集为(-2，

2

3

)．
∴a＜0且

2 a =-2+ 2 3 2 a =-2× 2 3

．
∴a=-

3

2

．
（2）∵P∩Q=∅，
∴问题等价于∀x∈P，ax²-2x+2≤0恒成立．
∵

1

2

≤x≤3，
∴a≤

2x-2

x2

=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

．
∵

1

3

≤

1

x

≤2，
∴-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

∈[-4，

1

2

]．
∴a≤-4．