题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

对于E={a₁,a₂,…,a₁₀₀}的子集X=,定义X的“特征数列”为x₁,x₂…,x₁₀₀,其中==…==1.其余项均为0,例如:子集{a₂,a₃}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.
(1)子集{a₁,a₃,a₅}的“特征数列”的前3项和等于　　　　;
(2)若E的子集P的“特征数列”p₁,p₂,…,p₁₀₀满足p₁=1,p_i+p_i+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q₁,q₂,…,q₁₀₀满足q₁=1,q_j+q_j+1+q_j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为　　　　.

答案

(1)2　(2)17

解析

(1)根据定义,子集{a₁,a₃,a₅}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0,…,0,共有3个1,其余全为0,该数列前3项和为2.
(2)E的子集P的“特征数列”p₁,p₂,…,p₁₀₀中,由于p₁=1,p_i+p_i+1=1(1≤i≤99),因此集合P中必含有元素a₁.
又当i=1时,p₁+p₂=1,且p₁=1,故p₂=0.
同理可求得p₃=1,p₄=0,p₅=1,p₆=0,….
故E的子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0,…,1,0,
即P={a₁,a₃,a₅,a₇,…,a₉₉}.
用同样的方法求出Q={a₁,a₄,a₇,a₁₀,…,a₁₀₀}.
因为1+3(n-1)=100,所以集合Q中有34个元素,下标是奇数的项有17个,
即P∩Q={a₁,a₇,a₁₃,a₁₉,…,a₉₇},共有17个元素.