题目
题型:解答题难度:困难来源:上海高考真题
(1)函数f(x)= x 是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;
(3)若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围。
答案
因为对任意x∈R,x+T= Tx不能恒成立,
所以f(x)=。
(2)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:有解,消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解,
所以存在非零常数T,使aT=T
于是对于f(x)=ax有
故f(x)=ax∈M。
(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,
所以存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,
即sin(kx+kT)=Tsinkx
因为k≠0,且x∈R,
所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立,
只有T=±1,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ,m∈Z
当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx成立,即sin(kx-k+π)=sinkx 成立,
则-k+π=2mπ,m∈Z ,即k=-2(m-1)π,m∈Z
综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}。
核心考点
试题【已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立。(1)函数f(x)= x 是否属于集合M?说明理由】;主要考察你对集合间的关系问题等知识点的理解。[详细]
举一反三
e2,…,ek},
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)设集合,对任意,试求;
(Ⅲ)设,试求的概率。
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
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