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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R}.
(1)是否存在实数a,使得集合A中所有整数的元素和为28?若存在,求出符合条件的a,若不存在,请说明理由.
(2)若以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为Sn,对于任意的n∈N+,均有Sn∈A,求a的取值范围.
答案
(1)当a<1时,A={x|a≤x≤1},不符合;
当a≥1时,A={x|-2≤x≤1},设a∈[n,n+1),n∈N,则
1+2++n=
n(n+1)
2
=28,
所以n=7,即a∈[7,8)
(2)当a≥1时,A={x|1≤x≤a}.而S2=a+a2∉A,故a≥1时,不存在满足条件的a;
当0<a<1时,A={a≤x≤1},而Sn=
a(1-an)
1-a
是关于n的增函数,
所以Sn随n的增大而增大,
Sn
a
1-a
且无限接近
a
1-a
时,对任意的n∈N+,Sn∈A,只须a满足





0<a<1
a
1-a
≤1
解得0<a≤
1
2

当a<-1时,A={x|a≤x≤1}.
而S3-a=a2+a3=a2(1+a)<0,S3∉A故不存在实数a满足条件.
当a=-1时,A={x|-1≤x≤1}.S2n-1=-1,S2n=0,适合.
⑤当-1<a<0时,A={x|a≤x≤1}.S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n(1+a)>S2n-1,S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1(1+a)<S2n
∴S2n-1<S2n+1,S2n+2<S2n,且S2=S1+a2>S1
故S1<S3<S5<…<S2n+1<S2n<S2n-2<…<S4<S2
故只需





S2∈A
S1∈A





a+a2≤1
-1<a<0

解得-1<a<0.
综上所述,a的取值范围是{a|0<a≤
1
2
或-1≤a<0}
核心考点
试题【已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R}.(1)是否存在实数a,使得集合A中所有整数的元素和为28?若存在,求出符合条件的a,若不存在,请说明理由.(】;主要考察你对集合间的关系问题等知识点的理解。[详细]
举一反三
若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则
|a|
a
+
|b|
b
的可能取值组成的集合中元素的个数为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2}且M=N.求a、b的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
集合{x-2,x2-4,0}中的x不能取的值是(  )
A.2B.3C.4D.5
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列给出的对象中,能表示集合的是(  )
A.一切很大的数B.无限接近零的数
C.聪明的人D.方程x2=2的实数根
题型:单选题难度:简单| 查看答案
判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:
(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};
(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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