题目
题型:解答题难度:困难来源:北京期末题
(1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}是否具有性质P?并说明理由;
(2)当n=1 000时,
①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由;
②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值。
答案
B={x∈A|x>9}={10,11,12,…,19,20}不具有性质P.
因为对任意不大于10的正整数m,都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m,使得|b1-b2|=m成立。
集合C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}具有性质P.
因为可取m=1<10,对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1,c2=3k2-1,k1,k2∈N*,
都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1。
(2)当n=1000时,则A={1,2,3,…,1999,2 000},
①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P.
首先因为T={2 001-x|x∈S},任取t=2001-x0∈T,其中x0∈S,
因为S
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从而1≤2 001-x0≤2000,即t∈A,所以T
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由S具有性质P,可知存在不大于1000的正整数m,
使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,
对于上述正整数m,从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1,t2=2001-x2,其中x1,x2∈S, 则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m,所以集合T= {200-x|x∈S}具有性质P。
②设集合S有k个元素,由第①问知,若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S} 一定具有性质P.
任给x∈S,1≤x≤2 000,则x与2001-x中必有一个不超过1 000,
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1 000,
不妨设S中有
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由集合S具有性质P,可知存在正整数m≤1000,使得对S中任意两个元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,
所以一定有b1+m,b2+m,…,bt+m
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又bi+m≤1 000 +1 000=2 000,故b1+m,b2+m,…,bt+m∈A,
即集合A中至少有t个元素不在子集S中,
因此
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当S={1,2,…,665 ,666,1 334,…,1 999,2 000}时,
取m=667,则易知对集合S中任意两个元素y1,y2,都有|y1-y2|≠667,即集合S具有性质P,
而此时集合S中有1 333个元素,
因此集合S的元素个数的最大值是1 333。
核心考点
试题【已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称】;主要考察你对集合的概念与表示等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.8
C.7
D.6
给出如下三个命题:①当m=1,则S={1};②当m=-
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其中正确的命题的个数为
B.1
C.2
D.3
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(1)分别求集合A、B;
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
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B、6
C、12
D、18
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(1)对任意的a,b∈G,都有a
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(2)存在e∈G,都有a
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现给出下列集合和运算:
①G={非负整数},
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②G={偶数},
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③G={平面向量},
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④G={二次三项式},
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⑤G={虚数},
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其中G关于运算
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