题目

题型：解答题难度：困难来源：0119 期中题

对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b。特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}，
(1)存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
(2)求证：不存在这样的函数f：A→{1，2，3}，使得对任意的整数x，y∈A，若|x-y|∈{1，2，3}，则f（x）≠f（y）；
(3)若BA，card（B）=12（card（B）指集合B中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“和谐集”。求最大的m∈A，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由。

答案

(1)解：因为；
(2)证明：假设存在这样的函数f：A→{1，2，3}，
使得对任意的整数，
若，
设，
由已知a≠b，
由于，
所以。
不妨令，这里，
同理，，
因为{1，2，3}只有三个元素，所以，
即，与已知矛盾；
因此假设不成立，
即不存在这样的函数，
使得对任意的整数，
若。
(3)解：当m=8时，记，
记P=C_MN，
则，
显然对任意，不存在n≥3，使得成立，
故P是非“和谐集”，
此时；
同样的，当时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”，因此m≤7；
下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”，
设，
若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”；
现考虑1，14，21都不属于集合B，
构造集合，
，
以上每个集合中的元素都是倍数关系，
考虑的情况，也即B′中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系；
综上所述，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7。