题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N^*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P．
（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是否具有性质P？并说明理由．
（Ⅱ）若n=1000时
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．

答案

（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1分）
因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到该集合中两个元素b₁=10与b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立．（2分）
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性质P．（3分）
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N^*
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1．（4分）
（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．（5分）
首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
因为S⊆A，所以x₀∈{1，2，3，…，2000}，
从而1≤2001-x₀≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）
由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，
使得对S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m．
对于上述正整数m，
从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S，
则有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P．（8分）
②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．
任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
不妨设S中有t(t≥

k

2

)个元素b₁，b₂，…，b_t不超过1000．
由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，
使得对S中任意两个元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
所以一定有b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∉S．
又b_i+m≤1000+1000=2000，故b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∈A，
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
因此k+

k

2

≤k+t≤2000，所以k+

k

2

≤2000，得k≤1333，
当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，
取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y₁，y₂，
都有|y₁-y₂|≠667，即集合S具有性质P，
而此时集合S中有1333个元素．
因此集合S元素个数的最大值是1333．（14分）