题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系中，点D在y轴上，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD。已知， DO⊥AB， OE⊥BC，E、O分别为垂足，BC="BO" ，O为坐标原点。

(1) 求证：DO=EO
(2) 已知：C点坐标为（4 ， 8），
①求等腰梯形ABCD的腰长；
②问题探究：在这个坐标平面内是否存在点F，使以点F、D、O、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合要求的F点的坐标，并说明理由；若不存在，请说明理由。

答案

（1）利用ASA求证△AOD≌△BOF，然后得出DO=EO；
(2)①10 ②F点的坐标为（6.4 ，12.8）

解析

试题分析：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD
∴∠OAD=∠OBE(等腰梯形同一底上的两个底角相等)
AD=BC
∵ DO⊥AB， OE⊥BC
∴∠DOA=∠BEO=90°
∴△AOD≌△BOF（ASA），
∴ DO="EO"
（2）利用勾股定律求出腰长，利用菱形边的性质求出E点坐标，然后再平移得出F点的坐标。
①设等腰梯形ABCD的腰长为x，
作CH⊥AB，则矩形ODCH中

OH=DC=4，CH=OD=8，BH=x-4
在R t △CBH中,由勾股定理得

解得x=10
答：等腰梯形ABCD的腰长为10.
②在坐标平面内存在点F，使以点F、D、O、E为顶点的四边形是菱形.
∵ OD=OEDE
∴以F、D、O、E为顶点的菱形唯一存在，四条边只能是是OD、OE、FD、FE，
在菱形DOEF中，FE∥OD，且FE=OD=8
在R t △BOE中，作EG⊥OB，垂足为G.
BO=10，OE=8，则BE=6
由面积法,得EG=4.8
在R t △GOE中,OE=8，EG=4.8，则OG=6.4，即E(6.4,4.8)
将E点向上平移8个单位，得到点F,GF=4.8+8=12.8
∴ F点的坐标为（6.4 ，12.8）
点评：该题较为复杂，主要考查学生对几何图在坐标轴中表示形式以及意义，对于证明题要熟练几何中的各种性质和判定。