题目
题型:陕西难度:来源:
如图,甲,乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计),点M表示这所中学.点B在点M的北偏西30°的3km处,点A在点M的正西方向,点D在点M的南偏西60°的2
3 |
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案:
方案一:供水站建在点M处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值;
方案二:供水站建在乙村(线段CD某处),甲村要求管道铺设到A处,请你在图①中,画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值;
方案三:供水站建在甲村(线段AB某处),请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值.
综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短?
答案
方案一:
由题意可得:MB⊥OB,
∴点M到甲村的最短距离为MB,(1分)
∵点M到乙村的最短距离为MD,
∴将供水站建在点M处时,管道沿MD,MB线路铺设的长度之和最小,
即最小值为MB+MD=3+2
3 |
方案二:如图①,作点M关于射线OE的对称点M",则MM"=2ME,
连接AM"交OE于点P,PE∥AM,PE=
1 |
2 |
∵AM=2BM=6,∴PE=3,(4分)
在Rt△DME中,∵DE=DM?sin60°=2
3 |
| ||
2 |
ME=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
∴PE=DE,∴P点与D点重合,即AM"过D点,(6分)
在线段CD上任取一点P",连接P"A,P′M,P"M",
则P"M=P′M",
∵AP"+P"M">AM",
∴把供水站建在乙村的D点处,管道沿DA,DM线路铺设的长度之和最小,
即最小值为AD+DM=AM"=
AM2+MM′2 |
62+(2
|
3 |
方案三:作点M关于射线OF的对称点M",作M"N⊥OE于N点,交OF于点G,交AM于点H,连接GM,则GM=GM",
∴M"N为点M"到OE的最短距离,即M"N=GM+GN
在Rt△M"HM中,∠MM"N=30°,MM"=6,
∴MH=3,∴NE=MH=3,
∵DE=3,∴N,D两点重合,即M"N过D点,
在Rt△M"DM中,DM=2
3 |
3 |
在线段AB上任取一点G",过G"作G"N"⊥OE于N"点,
连接G"M",G"M,
显然G"M+G"N"=G"M"+G"N">M"D,
∴把供水站建在甲村的G处,管道沿GM,GD
线路铺设的长度之和最小,即最小值为GM+GD=M"D=4
3 |
综上,∵3+2
3 |
3 |
∴供水站建在M处,所需铺设的管道长度最短.(12分)
核心考点
试题【某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲,乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站,由供水站直接铺设管道到另外两处.如图】;主要考察你对尺规作图等知识点的理解。[详细]
举一反三
物流中心到两条公路的距离相等,且到公路交叉处A点的距离为1000米.
(1)若要以1:50000的比例尺画设计图,求物流中心到公路交叉处A点的图上距离;
(2)在图中画出物流中心的位置P.
请设计两种不同的分法,将四边形ABCD分割成四个三角形,使得分割成的每个三角形都是等腰三角形.画法要求如下:
(1)两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法;
(2)画图工具不限,但要求画出分割线段;
(3)标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数,例如样图;
(4)不要求写出画法,不要求证明.
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