题目

题型：宜宾难度：来源：

如图，菱形ABCD的对角线长分别为a、b，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A₁B₁C₁D₁，然后再以矩形A₁B₁C₁D₁各边的中点为顶点作菱形A₂B₂C₂D₂，…，如此下去．则得到四边形A₂₀₀₉B₂₀₀₉C₂₀₀₉D₂₀₀₉的面积用含a、b的代数式表示为______．

答案

在2009个四边形中，小矩形有2008÷2+1=1005个，根据三角形中位线定理得：
第1个小矩形的面积为

1

2

a×

1

2

b；
第2个小矩形的面积为（

1

2

）²a×（

1

2

）²b；
第3个小矩形的面积为（

1

2

）³a×（

1

2

）³b；
第4个小矩形的面积为（

1

2

）⁴a×（

1

2

）⁴b；
…
∴四边形A₂₀₀₉B₂₀₀₉C₂₀₀₉D₂₀₀₉的面积即为：第1005个小矩形的面积（

1

2

）¹⁰⁰⁵a×（

1

2

）¹⁰⁰⁵b=（

1

2

）²⁰¹⁰ab．