题目

题型：不详难度：来源：

已知a、b、c为实数．证明：（a+b+c）²、（a+b-c）²、（b+c-a）²、（c+a-b）²这四个代数式的值中至少有一个不小于a²+b²+c²的值，也至少有一个不大于a²+b²+c²的值．

答案

如果（a+b+c）²、（a+b-c）²、（b+c-a）²、（c+a-b）²都小于a²+b²+c²，
则 （a+b+c）²+（a+b-c）²+（b+c-a）²+（c+a-b）²＜4（a²+b²+c²），
∴（a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac）+（a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc）+（b²+c²+a²+2bc-2ac-2ab）+（c²+a²+b²+2ac-2bc-2ab）＜4（a²+b²+c²），
整理得：0＜0，明显不成立． 故这四个代数式的值中至少有一个不小于a²+b²+c²的值；
同理，如果（a+b+c）²、（a+b-c）²、（b+c-a）²、（c+a-b）²都大于a²+b²+c²，
可得0＞0 也不成立，
故（a+b+c）²、（a+b-c）²、（b+c-a）²、（c+a-b）²这四个代数式的值中至少有一个不小于a²+b²+c²的值，也至少有一个不大于a²+b²+c²的值，命题得证．