题目

题型：不详难度：来源：

山城电信大楼一架最多可以容纳32人的33层电梯出故障，只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层办公．请你设计一个方案，使电梯停在某一层，使得这32个人的不满意总分达到最小，并求出这个最小值．注意：有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼．

答案

将人群分成三组，A组：直接上楼；B组：从电梯下楼；C组：从电梯上楼；
由于各种组合是有限的，因此最小值是存在的，那么在达到最小值时，下楼的人数是一个确定的值m，
除了1人不需要上下楼，上楼的人数为31-m，
这31-m个人分在A，C两组，由于A，C两组的地位均等，因此要达到最小值人数要相等，但涉及到整数有可能相差1人，
设A组的人有n，那么爬得最高的人要爬n层，3n分，
如果C组的人比A组的人数多2个以上，则C组爬得最高的人＞=3（n+2），
这样如果我们从C组中移1个人到A组，将至少减少3（n+2）分，
而A组增加1人增加的分是3（n+1），显然会使总分减少，
同时B组的人数没有变动，分值没有变化，
由此说明了A，C组人数应当相等或相差1人，
基于以上分析，先考虑AC组人数相等的情况：
设A，C组人数均为x，B组人数为31-2x，
总分S=

x•(x+1)•3+(32-2x)(31-2x)

2

=5x²-60x+496，
当x=

60

2×5

=6，S最小=316．