题目

题型：不详难度：来源：

如图①，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a＜b），点M、N分别为边AD、BC上两点(点A、C除外)，连结MN.
（1）如图②，分别沿ME、NF将MN两侧纸片折叠，使点A、C分别落在MN上的A’、C’处，直接写出ME与FN的位置关系；
（2）如图③，当MN⊥BC时，仍按（1）中的方式折叠，请求出四边形A’EBN与四边形C’FDM
的周长（用含a的代数式表示），并判断四边形A’EBN与四边形C’FDM周长之间的数量关系；
（3）如图④，若对角线BD与MN交于点O，分别沿BM、DN沿ME、NF将MN两侧纸片折叠，折叠后，点A、C恰好都落在点O处，并且得到的四边形BNDM是菱形，请你探索a、b之间的数量关系；
（4）在（3）情况下，当a=时，求菱形BNDM的面积.

答案

（1）平行
（2）相等
（3）
（4）

解析

(1) ME∥FN    ………………2分
(2) ∵由折叠得知：A’E=AE， 四边形A’EBN是矩形，
∴四边形A’EBN的周长=2（A’E＋EB）=2（AE＋EB）=2AB=2a，…3分
同理，四边形C’FDM的周长=2a，
∴四边形A’EBN的周长=四边形C’FDM的周长 ………………4分
(3) ∵△OND是由△CND折叠得到的，
∴OD="CD=a,                                   "
同理，OB=a,
∴BD="2a     " ………………6分
在△BCD中，∠C=90°，由勾股定理得，
BC2＋CD2=BD2，
∴b2＋a2=(2a)2
∴.    ………………7分
（4）当a=时，CD=，BC=3
在菱形BNDM中，DN=BN
设DN=BN=x,则CN=3－x .在△DCN中，∠C=90°，由勾股定理得，
NC2＋CD2=ND2， ………………8分
∴，
解得，，
∴ 菱形BNDM的面积=………………9分.
(其它解法可自行参照上述标准给分)