题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=30^。．
（1）求劣弧的长；
（2）若∠ABD=120^。，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．

答案

（1）解：延长OP交AC于E，
               ∵ P是△OAC的重心，OP=，
          ∴ OE=1， 且 E是AC的中点.
           ∵ OA=OC，∴ OE⊥AC.
         在Rt△OAE中，∵ ∠A=30°，OE=1，
          ∴ OA=2. ∴ ∠AOE=60°.
           ∴ ∠AOC=120°. ∴ ；
（2） 证明：连结BC.
∵ E、O分别是线段AC、AB的中点，
∴ BC∥OE，且BC=2OE=2=OB=OC.
∴ △OBC是等边三角形. ：
∴ ∠OBC=60°. ∵ ∠OBD=120°，∴ ∠CBD=60°=∠AOE. 
∵ BD=1=OE，BC=OA，
∴ △OAE ≌△BCD.
∴ ∠BCD=30°.
∵ ∠OCB=60°， ∴ ∠OCD=90°.  ∴ CD是⊙O的切线.