题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，AB是半圆O的直径，AB=2，射线AM、BM为半圆O的切线，在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC，过O点作OE⊥BC，延长OE交BN于点F，过D点作半圆O的切线DP，并延长交BN于点Q。
（1）求证：△ACB∽△OBF；
（2）当△ABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。

答案

解：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
即：AC⊥BC，
又∵OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
又∵BN是半圆的切线，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ACB∽△OBF； （2）由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，
∴AD=OB=1，
如图，连接OP，
∵DPQ是半圆O的切线，
∴AO=OP=DP=AD=1，OP⊥DP，
∴四边形AOPD是正方形，
∴四边形OBQP是正方形，
∴BQ=OB=1； （3）由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴，
∴，
∵DPQ是半圆O的切线，
∴AD=DP，QB=BQ，
过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，
在Rt△DQK中， DQ²=QK²+DK²，
∴（AD+BQ）²=2²+（AD-BQ）²，
∴，
∴BF=2BQ，
∴Q为BF的中点。