题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。
（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

答案

解：（1）如图①，⊙P与x轴相切，
∵直线y=-2x-8与x轴交于A（-4，0），与y轴交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8，
由题意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k，
在Rt△AOP中，k²+4²=（8+k）²，
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半径，
∴⊙P与x轴相切；
（2）如图②，设⊙P与直线l交于C，D两点，连接PC，PD，
当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E，
∵△PCD为正三角形，
∴DE=CD=，PD=3，
∴PE=，
∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，
∴△AOB∽△PEB，
∴，即，
∴，
∴PO=BO-PB=8-，
∴，∴，
当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得
，
∴当k=-8或k=--8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。