题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D。
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长。

答案

解：（1）∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线，
又∵CD切⊙O于点D，
∴BC=CD；
（2）∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠ADE+∠CDB=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠ADE=∠ABD；
（3）由（2）得，∠ADE=∠ABD，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴，
∴BE=3，
∴所求⊙O的直径长为3。