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题目
题型:江苏中考真题难度:来源:
在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点和点,直线经过抛物线的顶点且与轴垂直,垂足为.
(1)求该二次函数的表达式
(2)设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标随时间)的变化规律为.现以线段为直径作⊙C.
①当点在起始位置点处时,试判断直线与⊙C的位置关系,并说明理由;在点运动的过程中,直线与⊙C是否始终保持这种位置关系? 请说明你的理由;
②若在点开始运动的同时,直线也向上平行移动,且垂足的纵坐标随时间的变化规律为,则当在什么范围内变化时,直线与⊙C相交? 此时,若直线被⊙C所截得的弦长为,试求的最大值.
答案
解:(1 )将点和点的坐标代入
,解得
∴二次函数的表达式为
(2)①当点在点处时,直线与⊙C相切,理由如下
∵点,∴圆心的坐标为,∴⊙C的半径为
又抛物线的顶点坐标为(0, -1), 即直线l上所有点的纵坐标均为-1,从而圆心C到直线l的距离为
∴直线与⊙C相切.
在点运动的过程中,直线与⊙C始终保持相切的位置关系,理由如下:
设点≥1),则圆心的坐标为
∴⊙C的半径为,
,而圆心C到直线l的距离为,
∴直线与⊙C始终相切
②由①知, 圆C的半径为.
又∵圆心C的纵坐标为,直线l上的点的纵坐标为,所以
,即时,圆心C到直线l的距离为
则由,得,解得, ∴此时
,即时,圆心C到直线l的距离为
则由,得,解得, ∴此时
综上所述, 当时,直线相交.
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点和点,直线经过抛物线的顶点且与轴垂直,垂足为.(1)求该二次函数的表达式(2)设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=50°,求∠BAC的度数.
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已知:如图,点P是半径为5cm的⊙O外的一点,OP=13cm,PT切⊙O于T,过P点作⊙O的割线PAB,(PB>PA)。设PA=x,PB=y,则y关于x的函数解析式为(    ),自变量x的取值范围(    )。
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已知:如图,在直角坐标系中,⊙O1经过坐标原点,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A(3,0)、B(0,4).设△BOA的内切圆的直径为d,则d+AB的值为(    )。
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如图,点A,E是半圆周上的三等分点,直径BC=2,AD⊥BC,垂足为D,连接BE交AD于F,过A作AG∥BE交BC于G.
(1)判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)求线段AF的长.
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如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD垂直于过点C的切线,垂足为D.
(1) 求证:AC平分∠BAD;
(2) 若AC=2,CD=2,求⊙O的直径.
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