题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．

答案

证明：（1）在△ABC中，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO（等边对等角）；
在Rt△DCF中，∵点G为DF的中点，∴CG=GF（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半），
∴∠GCF=∠CFG（等边对等角）；
∵DE⊥AB（已知），∠CFG=∠AFE（对顶角相等）；
∴在Rt△AEF中，∠A+∠AEF=90°；
∴∠ACO+∠GCF=90°，即∠CGO=90°，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AC⊥BD；
又∵CD=BC，点G为DF的中点，
∴S_△AFB=S_△ABC﹣S_△BCF=（ACBC﹣CFBC），S_△DCG=S_△FCD=×DC·CF=BC·CF；
∴△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，
∴（AC·BC﹣CF·BC）=2×BC·CF，
∴AC=2CF，即点F是AC的中点；
∴O点是AB的中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥BC．