题目

题型：中考真题难度：来源：

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C。
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围。

答案

解：（1）AB=AC，
理由如下：连接OB，
∴AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90 °，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r，
又∵PC=，
∴
由（1）AB=AC得，解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
∴∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA。
∴，即，解得；
（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则OE=AC=AB=，
又∵圆O要与直线MN交点，
∴OE=≤r
∴r≥
又∵圆O与直线l相离，
∴r＜5，
∴⊙O的半径r的取值范围为≤r＜5。