题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求线段AD所在直线的函数表达式；
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．

答案

（1）∵点A的坐标为（-2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA•tan60°=2

3

，
∴点D的坐标为（0，2

3

），（1分）
设直线AD的函数表达式为y=kx+b，

-2k+b=0 b=2 3

，
解得

k= 3 b=2 3

．
∴直线AD的函数表达式为y=

3

x+2

3

．（3分）

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，（5分）
如图所示：
①点P在AD上与AC相切时，
连接P₁E，则P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵∠1=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t₁=2．（6分）
②点P在DC上与AC相切时，
CP₂=2r=2，
∴AD+DP₂=6，
∴t₂=6．（7分）
③点P在BC上与AC相切时，
CP₃=2r=2，
∴AD+DC+CP₃=10，
∴t₃=10．（8分）
④点P在AB上与AC相切时，
AP₄=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP₄=14，
∴t₄=14，
∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．（9分）