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题目
题型:不详难度:来源:
如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于E、F,AE=


3

(1)求弧EF的长.
(2)若AD=


3
+5
,直线MN分别交DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线DA方向平移,当MN和⊙O第一次相切时,求点D到直线MN的距离.
(3)若点D到直线MN的距离为4时,请直接写出⊙O和直线MN的位置关系.
答案
(1)连接OE、OF.
∵AD、AB与⊙O相切于E、F,
∴OE⊥AD,OF⊥AB
∵矩形ABCD中,∠A=90°,
∴四边形OEAF是矩形.
∵OE=OF,
∴四边形OEAF是正方形,
∴OE=OF=AE=


3
,∠O=90°,
∴弧EF的长为:
90π×


3
180
=


3
π
2


(2)当MN和⊙O第一次相切时,设MN交AD于P,交BC于Q,连接OP,OE,过D作DG⊥MN于G.
∵MNPQ,
∴∠DMN=∠DPQ=60°,
∴∠APQ=120°.
∵PA和PQ与⊙O相切,
∴∠EPO=∠OPQ=60°.
在△OEP中,∠OEP=90°,∠EOP=30°,OE=


3

∴EP=1,OP=2,
∴DP=AD-AE-EP=


3
+5-


3
-1=4.
在△DPG中,∵∠DGP=90°,∠PDG=30°,
∴DG=PD•cos30°=2


3

∴点D到直线MN的距离d为2


3


(3)设点D到直线MN的距离为d.
由(2)知,当d=2


3
时,直线MN与⊙O第一次相切,
∵⊙O的半径为


3
,∴当d=4


3
时,直线MN与⊙O第二次相切,
又∵2


3
<4<4


3

∴当d=4时,MN直线与⊙O相交.
核心考点
试题【如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于E、F,AE=3.(1)求弧EF的长.(2)若AD=3+5,直线MN分别交DA、DC于点M、N,∠DMN=60°】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,如果∠C=70°,则∠P的度数是(  )
A.40°B.55°C.60°D.70°

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如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连接OC交⊙O于点E,弦ADOC,弦DF⊥AB于点G.
(1)求证:点E是
BD
的中点;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)若sin∠BAD=
4
5
,⊙O的半径为5,求DF的长.
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如图,过点P引圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆于点A,B和C,D,连接AC,BD,则在下列各比例式中,①
PA
PB
=
PC
PD
;②
PA
PD
=
PC
PB
;③
PA
AC
=
PD
BD
,成立的有______(把你认为成立的比例式的序号都填上).
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如图,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧
BC
上的一点,已知∠BAC=80°,则∠BDC=______度.(直接写答案)
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如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点动点E(不与点A、B重合),连结EB、ED.
(1)如果∠CBD=∠E,求证:BC是⊙O的切线;
(2)当点E运动到什么位置时,△EDB≌△ABD,并给予证明;
(3)若tanE=


3
3
,BC=
4


3
3
,求阴影部分的面积.(计算结果精确到0.1)
(参考数值:π≈3.14,


2
≈1.41,


3
≈1.73)
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