题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4，请探究：
（1）如图＜1＞，若以AP为直径作⊙O，分别交AM、AN于B、C，求AB+AC的长；
（2）如图＜2＞，若以AP为弦（不是直径），任作⊙O₁分别交AM、AN于B₁、C₁点，则AB₁+AC₁的长是否不变？请说明理由；
（3）如图＜3＞，若以AP为弦（不是直径）作⊙O₂与AM切于A点，交AN于C₂点，则AC₂的长是多少？请说明理由。

答案

解：（1）连接PB、PC，
∵AP为ΘO的直径，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∵AP平分∠MAN，
∴∠BAP=30°，
∴AB=AC=APcos30°=，
∴AB+AC=4；（2）AB₁+AC₁的长度不变，
理由：连接PB₁、PC₁，
在△PBB₁和△PCC₁中，
∵∠B₁AP=∠C₁AP=30°，
∴，
∴PB₁=PC₁，
∵∠ABP=∠C₁CP=90°，
∴PB=PC，
∴Rt△PBB₁≌RtPCC₁，
∴B₁B=C₁C，
∴AB₁+AC₁=AB-B₁B+AC+C₁C=AB+AC=4；（3）连接AO₂并延长交ΘO₂于D，连接PD、PC₂，
∴∠APD=90°，
则∠D+∠PAD=90°，
∵ΘO₂与AM切于A点，
∴∠PAD+∠BAP=90° =4，
∵∠D=∠BAP=∠CAP=30°，
∵∠D=∠AC₂P，
∴∠AC₂P=∠CAP，
∴△APC₂为等腰三角形，
∵∠ACP=90°，即PC⊥AC₂，
∴AC=CC₂=，
∴AC₂=AC+CC₂=。