题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和 △BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：∠APC=∠BPC。

答案

解：（1） 证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB（ASA）；
（2）△ACM∽△DPM。理由如下：
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠PDM，
又∵∠CMA=∠PMD，
∴△ACM∽△DPM；
（3）证明：∵∠CAE=∠CDB，
∴点A、C、P、D四点共圆，
∴∠APC=∠ADC，
同理，∠BPC=∠BEC，
又∵等腰△ACD和△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠APC=∠BPC。