题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在△ABC中∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，F，E点，GE，CD的交点为M，且ME=4，MD∶CO=2∶5。
（1）求证：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直径CD的长；
（3）若cos∠B=0.6，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式。

答案

解：连接DF，
∵CD是圆的直径，
∴∠CFD=90°，即DF⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF，
∴∠GEF=∠A；
（2）∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A，∴∠DCA=∠GEF，
∴∠OME=∠EMC，
∴△OME与△EMC相似，
∴，
∴，
又∵ME=，
∴，
∵，
∴，
∴，
设OM=3x，MC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
∴直径CD=10x=20；
（3）∵Rt△ABC斜边上中线CD=20，
∴AB=40，
∵在Rt△ABC中cos∠B=0.6=，
∴BC=24，
∴AC=32，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意得A（32，0），B（0，24），
∴，解得，
∴直线AB的函数解析式为。