题目

题型：不详难度：来源：

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．

答案

解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分，
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.
如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P₁  (不为∠ABC的顶点)，

∵ OX ＝BOsin∠ABM,  P₁Z＝BP₁sin∠ABM．
当 BP₁＞BO 时 ，P₁Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点. 
（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.

∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，
即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）
这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE，  （5分）
∴.
∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝.
设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x,   PC＝PE，
∴， ∴x＝ ．  （6分）
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC＝y，则 ，

∴y= .   （7分）
③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，

设PF＝z，则， ∴z=.    （8分）
由①，②，③可知：∵  ＞2，∴ ＋2＞＋1＞3，
∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，
(或者:∵x= =2-4, y= = 5,
∴y-x=>0, ∴y>x. ∵z-y=>0)
∴2， （9分，没有过程直接得出酌情扣1分）
∴ z＞y＞x.  ∴⊙P的面积S的最大值为.    （10分）

解析

略