题目

题型：不详难度：来源：

（2013年四川自贡10分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

答案

解：（1）证明：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M，

根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，
∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°。
∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC。
∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线。
（2）由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC。
∵AC∥BD，∴OC⊥BD。
∵DB=，∴由垂径定理可知，MD=MB=BD=．
在Rt△OBM中，∠COB=60°，，
在△CDM与△OBM中，
∵，∴△CDM≌△OBM（ASA）。∴S_△CDM=S_△OBM。
∴阴影部分的面积。

解析

（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；
（2）如解答图所示，解题关键是证明△CDM≌△OBM，进行等积转换，得到S_阴影=S_扇形BOC。