题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF,OD,OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
答案
解析
试题分析:(1)连接OB,根据垂径定理的知识,得出OA=OB,∠POA=∠POB,从而证明△PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论;
(2)先证明△OAD∽△OPA,由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系,然后将EF=2OA代入关系式即可;
(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线,设AD=x,然后利用三角函数的知识表示出FD、OA,在Rt△AOD中,由勾股定理解出x的值,从而能求出cos∠ACB,再由(2)可得OA2=OD•OP,代入数据即可得出PE的长.
试题解析:(1)如图,连接OB,
∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°.
∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB.
又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS).
∴∠PAO="∠PBO=90°." ∴直线PA为⊙O的切线.
(2)EF2=4OD•OP,证明如下:
∵∠PAO=∠PDA=90°,∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°.
∴∠OAD="∠OPA." ∴△OAD∽△OPA. ∴,即OA2=OD•OP.
又∵EF=2OA,∴EF2=4OD•OP.
(3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3(三角形中位线定理).
设AD=x,
∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,
解得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去).∴AD=4,OA=2x﹣3=5.
∵AC是⊙O直径,∴∠ABC=90°.
又∵AC=2OA=10,BC=6,∴cos∠ACB=.
∵OA2=OD•OP,∴3(PE+5)=25.∴PE=.
核心考点
试题【如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.(1)求证:】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.16πcm2 | B.25πcm2 | C.48πcm2 | D.9πcm2 |
A.1个 | B.2个 | C.3个 | D.4个 |
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