题目
题型:不详难度:来源:
(1)请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求出(1)中外接圆圆心P的坐标;
(3)⊙P上是否存在一点Q,使得△QBC与△AOC相似?如果存在,请直接写出点Q 坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)作出AC与BC线段垂直平分线得出交点即为圆心,进而利用圆心到线段端点距离长为半径求出即可;
(2)过点P做PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,连接PC、PE,在Rt△BPD中,BP2=x2+32,在Rt△CEP中,CP2=(x+2)2+12,由BP=CP,求出x的值,即可得出P点坐标;
(3)利用相似三角形的判定得出△Q1BC∽△ACO,进而结合圆周角定理得出Q点坐标.
(1)如图1所示:
(2)如图2,过点P做PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,连接PC、PE.
∵PD⊥AB,∴AD=BD=3.
∵OB=4,∴OD=OB-BD=1.
∴PE=OD=1.
设DP=x,则OE=PD=x.
在Rt△BPD中,BP2=x2+32.
在Rt△CEP中,CP2=(x+2)2+12.
∵BP=CP,
∴x2+32=(x+2)2+12.
解得:x=1.
∴点P坐标为(1,-1).
(3)如图2,连接BP并延长到⊙P于一点Q1,连接CQ1,
则BQ1是直径,
∴∠Q1CB=90°,
又∵∠CAB=∠CQ1B,
∴△Q1BC∽△ACO,
此时连接AQ1则∠Q1AB=90°,
∴Q1横坐标为:-2,
∵AB=6,BQ1=2BP=2,
∴AQ1=2,
∴Q1(-2,-2),
同理构造直角三角形CFQ2,
可得出:CF=6,CQ2=2,
∴FQ2=2,FO=4,
则Q2(2,-4),
综上所述:⊙P上存在一点Q(-2,-2),(2,-4),使得△QBC与△AOC相似.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为A(-2,0)、B(4,0)、C(0,2).(1)请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P(保留作图痕迹,不写作法)】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,用半径R=3cm,r=2cm的钢球测量口小内大的内孔的直径D.测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a=4cm,b=2cm,则内孔直径D的大小为 .
问题拓展
如图,在矩形ABCD内,已知⊙O1与⊙O2互相外切,且⊙O1与边AD、DC相切,⊙O2与边AB、BC相切.若AB=4,BC=3,⊙O1与⊙O2的半径分别为r,R.求O1O2的值.
灵活运用
如图,某市民广场是半径为60米,圆心角为90°的扇形AOB,广场中两个活动场所是圆心在OA、OB上,且与扇形OAB内切的半圆☉O1、☉O2,其余为花圃.若这两个半圆相外切,试计算当两半圆半径之和为50米时活动场地的面积.
求证:(1)DE为⊙O的切线.
(2)AB•DF=AC•BF.
A.4 B.6 C. D.
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