题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明△COF是等腰三角形,并求出CF的长;
(2)将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N(如图2),当CM的长是多少时,△OMN与△BCO相似?
答案
解析
试题分析:(1)易证∠OCB=∠B,由条件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE,从而得到△COF是等腰三角形,过点F作FH⊥OC,垂足为H,如图1,由等腰三角形的三线合一可求出CH,易证△CHF∽△BCA,从而可求出CF长.
(2)题中要求“△OMN与△BCO相似”,并没有指明对应关系,故需分情况讨论,由于∠DOE=∠B,因此△OMN中的点O与△BCO中的点B对应,因而只需分两种情况讨论:①△OMN∽△BCO,②△OMN∽△BOC.当△OMN∽△BCO时,可证到△AOM∽△ACB,从而求出AM长,进而求出CM长;当△OMN∽△BOC时,可证到△CON∽△ACB,从而求出ON,CN长.然后过点M作MG⊥ON,垂足为G,如图3,可以求出NG.并可以证到△MGN∽△ACB,从而求出MN长,进而求出CM长.
试题解析:(1)∵∠ACB=90°,点O是AB的中点,
∴OC=0B=OA=5.
∴∠OCB=∠B,∠ACO=∠A.
∵∠DOE=∠B,
∴∠FOC=∠OCF.
∴FC=FO.
∴△COF是等腰三角形.
过点F作FH⊥OC,垂足为H,如图1,
∵FC=FO,FH⊥OC,
∴CH=OH=,∠CHF=90°.
∵∠HCF=∠B,∠CHF=∠BCA=90°,
∴△CHF∽△BCA.
∴.
∵CH=,AB=10,BC=6,
∴CF=.
∴CF的长为.
(2)①若△OMN∽△BCO,如图2,
则有∠NMO=∠OCB.
∵∠OCB=∠B,
∴∠NMO=∠B.
∵∠A=∠A,
∴△AOM∽△ACB.
∴.
∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,
∴AC=8.
∵AO=5,AC=8,AB=10,
∴AM=.
∴CM=AC-AM=.
②若△OMN∽△BOC,如图3,
则有∠MNO=∠OCB.
∵∠OCB=∠B,
∴∠MNO=∠B.
∵∠ACO=∠A,
∴△CON∽△ACB.
∴.
∵BC=6,AB=10,AC=8,CO=5,
∴ON=,CN=.
过点M作MG⊥ON,垂足为G,如图3,
∵∠MNO=∠B,∠MON=∠B,
∴∠MNO=∠MON.
∴MN=MO.
∵MG⊥ON,即∠MGN=90°,
∴NG=OG=.
∵∠MNG=∠B,∠MGN=∠ACB=90°,
∴△MGN∽△ACB.
∴.
∵GN=,BC=6,AB=10,
∴MN=.
∴CM=CN-MN=-=.
∴当CM的长是或时,△OMN与△BCO相似.
【考点】1.圆的综合题;2.全等三角形的判定与性质;3.直角三角形斜边上的中线;4.勾股定理;5.相似三角形的判定与性质.
核心考点
试题【如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且∠DOE=∠B.(】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.外切 | B.相交 | C.内切 | D.内含 |
A. | B. | C. | D.π |
A.AE=BE B. = C.OE=DE D.∠DBC=90°
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